例题

设正整数 $n \ge 2$，非负实数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i = 1$，求

的最大值。

分析与解答

简化问题

设二维平面上的点集 $\displaystyle P_i = \left( i^2, \frac{1}{i} \right)$，其中 $i = 1, 2, \dots, n$

令目标式为 $S$，$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n a_i \cdot i^2$， $\displaystyle Y = \sum_{i=1}^n a_i \cdot \frac{1}{i}$，有 $S = f(X, Y) = X Y^2$

由于 $\displaystyle \sum a_i = 1$ 且 $a_i \ge 0$, 所以点 $(X, Y)$ 实际上是点集 $\{P_1, P_2, \dots, P_n\}$ 的凸集，即 $(X, Y)$ 的取值范围是这些点构成的凸包。

分析

$P_i(x_i, y_i)$ 的轨迹为 $\displaystyle f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$，又 $\displaystyle f''(x) = \frac{3}{4} x^{-\frac{5}{2}} > 0$，故 $P_i$ 落在一条下凸曲线上。

又由于在第一象限 $S = X Y^2$ 的 $X$ 和 $Y$ 都是增函数，所以最优解一定位于线段 $P_1 P_n$ 上，即取得最大值时只需要用到 $a_1$ 和 $a_n$，$a_i = 0$ ($1 < i < n$)

求解

设 $a_1 = x$，则 $a_n = 1 - x$，其余 $a_i = 0$ ($1 < i < n$)

代入得：

$\displaystyle X = n^2 - (n^2-1)x$

$\displaystyle Y = \frac{1}{n} + \frac{n-1}{n}x$

接下来可以构造均值不等式， $\displaystyle k = \frac{n(n+1)}{2}$，有

$\displaystyle A + 2kB = n^2 + n + 1$

$\displaystyle A \cdot (kB)^2 = S \cdot k^2 \le \left( \frac{n^2+n+1}{3} \right)^3$

故 $\displaystyle S_{\max} = \frac{1}{k^2} \left( \frac{n^2+n+1}{3} \right)^3$

取等条件：

$\displaystyle a_1 = \frac{2n + 1}{3(n + 1)}$，$\displaystyle a_n = \frac{n + 2}{3(n + 1)}$，$a_i = 0$ ($1 < i < n$)

结论

代入 $\displaystyle k = \frac{n(n+1)}{2}$，

$\displaystyle \boxed{S_{\max} = \frac{4(n^2+n+1)^3}{27n^2(n+1)^2}}$

拓展

解题思维

解答使用了凸包法，该方法适用于求形如 $\displaystyle F(\sum a_i f(t_i), \sum a_i g(t_i))$ 的函数的最值问题。

令 $u_i = f(t_i), v_i = g(t_i)$，所有的可能取值点 $\displaystyle P_i (X, Y) = (\sum a_i u_i, \sum a_i v_i)$ 构成了点集 $\{P_i (X, Y)\}$ 的凸包。

如果目标函数 $\displaystyle F(\sum a_i f(t_i), \sum a_i g(t_i))$ 是拟凸的，或其梯度方向使极值倾向于边界，那么最大值一定在凸包的顶点或边界线段上取到。

与 Kantorovich 不等式的联系

Kantorovich 不等式： 设 $0 < a \le p_i \le b$，且 $\displaystyle \sum p_i = 1, p_i \ge 0$，则：

$\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n p_i x_i \right) \left( \sum_{i=1}^n \frac{p_i}{x_i} \right) \le \frac{(a+b)^2}{4ab}$

例题实际上是 Kantorovich 不等式的一种变体，内在逻辑并无太大差别。

与概率的联系

若将 $a_i$ 看作概率 $P(X=i)$，题目可改写为： 设随机变量 $X$ 取值于 $\{1, 2, \dots, n\}$。求 $\displaystyle \mathbb E[X^2] \cdot (\mathbb E[\frac{1}{X}])^2$ 的最大值。

从直觉来猜测：为了让 $\displaystyle \mathbb E[X^2]$ 变大，需要让 $X$ 尽可能取大；但同时为了让 $\displaystyle (\mathbb E[\frac{1}{X}])^2$ 变大，又必须让 $X$ 尽可能取小，最优解只能把一部分概率分给 $1$，另一部分分给 $n$，中间的值对于最大化两个极端效率最低，所以全部为 $0$，这样一来可以猜测到最大值只和 $a_1$ 和 $a_n$ 有关。

拓展题

可以根据这个思路再出一道拓展题。

题目

设正整数 $n \ge 2$，非负实数 $a_1, \dots, a_n$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = 1$。求

的最小值。

读者可以采取上面的方法自行解决，答案为 $\displaystyle \boxed{-\frac{(n-1)^2}{4(n+1)}}$